Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья. Страница 85

Кажется, что мы дотянулись до небес, добравшись до новой лестницы: от ω + 2 к ω + 3 и т. д., пока не найдем новый уровень неба в ω + + ω. Обычно это записывают как ω × 2 и определяют как множество

Мы можем продолжать подъем ко все более высоким небесам, вплоть до ω × 3 и ω × 4 и т. д., пока не дойдем до предела ω × ω, который наиболее здравомыслящие люди называют попросту ω². Теперь мы достигли бесконечного количества уровней бесконечных небес. Но мы можем продолжать. Двигаясь так же, как и раньше, мы достигаем ω³, затем ω⁴ и в конце концов доходим до очередного предела — экспоненциально высокого неба, которое мы запишем как ω^ω.

Теперь включим ускорители.

После ω^ω мы можем представить восхождение все выше, и выше, и выше — к башне из степеней ω, которая имеет ω этажей высоты:

Как мы видели в главе «Число Грэма», такие башни удобнее записывать с помощью наших двойных стрелок, и мы получаем ω ↑ ↑ ω. Отсюда мы переходим к числу

затем к ω ↑⁴ ω и т. д., пока мы не достигнем еще одного исполинского предела, ω ↑^ω ω — небесного левиафана, подобно Богу возвышающегося над всем, что было прежде.

А помните, как вы думали, что число Грэма — это очень большое число?

Но мы еще не закончили.

Самое забавное, что ω + 1 на самом деле не больше ω; оно просто идет следующим. Мощность соответствующего множества ω + 1 = = {0, 1, 2, 3, …; ω} по-прежнему равна

А потом это происходит.

На поистине невообразимой высоте Кантор показал, что должен существовать новый тип ординала, отличный от всего, что было прежде. Не очевидно, что он вообще должен существовать, но он существует. Кантор обнаружил, что большие бесконечности скрыты в континууме, во множестве всех действительных чисел, включающем рациональные, которые можно записать в виде дробей, и иррациональные числа, такие как √2, которые записать таким образом нельзя [159]. Математик продемонстрировал, что континуум находится за пределами нашего умения считать — один, два, три, четыре… Его мощность больше, чем алеф ноль.

Давайте спросим, сколько действительных чисел находится в континууме между 0 и 1. Понятно, что бесконечно много, но это алеф ноль или действительно что-то большее? Вот как это выяснял Кантор. Предположим, что континуум счетен и, следовательно, можно установить взаимно однозначное соответствие между числами из него и натуральными числами. Это значит, что мы можем записать все числа континуума в бесконечный список размера

Чтобы доказать, что континуум больше

Эти диагональные элементы образуют число 0,14585… Затем Кантор написал новое число, все цифры которого отличаются от этого числа на единицу. В нашем примере 0,14585… преобразуется в новое число 0,25696… Оно отличается от первого числа в списке, ведь у них разные первые цифры после запятой (по определению у нового числа первая цифра больше на 1). Оно отличается и от второго числа в нашем списке: у них разные вторые цифры после запятой. Оно отличается и от третьего числа — третьей цифрой после запятой. Фактически оно отличается от всех

Существует ли способ систематически конструировать эти большие бесконечности, чтобы пройти путь за пределы

Как обычно, ω₁ определяется как множество предшествующих ему ординалов. Иными словами, это полное множество счетных величин — от конечных крохотулек до наибольшей из счетных бесконечностей. Но от ω₁ мы можем продолжить восхождение — к ω₁ + 1 и даже выше. И снова они не обязаны быть больше, чем ω₁, — они просто идут следом. Вдобавок ω₁ + 1 также имеет мощность

Полагаю, вам сейчас стало бесконечно тревожно из-за всего этого. В конце концов, даже