В формальной дедуктивной логике понятие формы, как и следует из самого названия, является центральным. Формальная дедуктивная логика изучает не отдельные рассуждения, а типы рассуждений, чтобы выяснить, какие из этих типов построены или сформированы таким образом, что при истинности посылок истинность заключения гарантирована независимо от предмета обсуждения. Именно это означает термин «правильный»; данное понятие относится исключительно к структуре рассуждений, а не к их содержанию. Рассуждение считается состоятельным, если помимо правильной формы оно опирается на истинные посылки, то есть если и его содержание, и его форма выдерживают проверку. Таким образом, состоятельность рассуждения частично зависит от фактов — а именно тех, что утверждаются в посылках, — а частично от того, как рассуждение структурировано. Но повторим: формальную дедуктивную логику интересует только последнее — форма или структура, — и ее цель состоит в том, чтобы определить, какие типы рассуждений правильны в силу своей формы, так что если посылки истинны, сама форма гарантирует истинность заключения.
Индуктивные рассуждения, напротив, даже если они хороши, делают свои выводы лишь в некоторой степени вероятными. То, что степень вероятности может быть крайне низкой, несмотря на кажущуюся правдоподобность аргумента, иллюстрирует пример простейшего вида индукции — «индукции через простое перечисление», в которой общий вывод делается на основании ограниченного числа частных посылок: «Этот лебедь белый, тот лебедь белый, следующий лебедь белый... следовательно, все лебеди белые». На самом же деле некоторые лебеди черные, а некоторые — даже черно-белые.
Индуктивный вывод всегда выходит за рамки того, что утверждается в посылках, тогда как дедуктивные выводы не содержат в заключении никакой новой информации — оно представляет собой лишь перегруппировку информации, уже содержащейся в посылках. Рассмотрим пример: «Все люди смертны; Сократ — человек; следовательно, Сократ смертен». Здесь произошло лишь перераспределение входящих в рассуждение терминов, в результате чего и получилось заключение.
Однако, хотя заключение дедуктивного рассуждения и не содержит новой информации, оно тем не менее может быть информативным с психологической точки зрения. Это иллюстрирует история о герцоге и епископе. Один известный епископ был почетным гостем на загородном приеме у герцога. В какой-то момент герцог оставил гостей, чтобы сделать распоряжение слугам, а епископ тем временем развлекал общество рассказом о том, как много лет назад, когда он только-только принял священный сан, первым человеком, чью исповедь он принял, оказался серийный убийца, совершивший особо гнусные преступления. В этот момент вернулся герцог, похлопал епископа по плечу и сказал: «Мы с епископом — очень старые знакомые. Собственно говоря, я был первым человеком, чью исповедь он принял». Остальные гости, до единого оказавшиеся отличными логиками, поспешно разошлись.
Первое систематическое исследование логики было предпринято Аристотелем. С дополнениями и расширениями, сделанными главным образом средневековыми схоластами, его логика казалась вполне завершенной наукой вплоть до XIX века. Однако затем трудами математиков Огастеса де Моргана, Джорджа Буля и в особенности Готлоба Фреге она была преобразована в математическую, или «символическую», логику — инструмент куда более широкого охвата и силы, чем аристотелевская логика. Одним из нововведений, сделавших это возможным, стала разработка системы обозначений для выражения все более и более сложных понятий. (Стандартная ныне система обозначений восходит к той, которую впервые разработали Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед в своем труде Principia Mathematica.)
Аристотелевская логика опирается на три так называемых «закона мышления»: закон тождества, гласящий «А есть А», закон непротиворечия, гласящий «неверно, что А и не-А», и закон исключенного третьего, гласящий «либо А, либо не-А». (Огастес де Морган показал, что два последних закона — это просто разные способы выразить одно и то же.)
Примером того, как исследовались выводы в рамках аристотелевской логики, служит «логический квадрат». Если обозначить буквами S и P соответственно субъект (Subject) и предикат (Predicate) — например, в предложении «лошадь коричневая» субъектом является «лошадь», а предикатом — «коричневая», — то четыре стандартные формы суждения можно описать следующим образом:
A: общеутвердительное «Все S есть P»
E: общеотрицательное «Ни одно S не есть P»
I: частноутвердительное «Некоторые S есть P»
O: частноотрицательное «Некоторые S не есть P»
Если расположить их следующим образом:
позволяет сразу же считывать «непосредственные» умозаключения: A влечет за собой I, E влечет за собой O; A и O являются противоречащими друг другу (как и E и I); A и E — противоположными (они могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными), а I и O — субконтрарными (они могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными). Подбор соответствующих вариантов повествовательного предложения на русском языке для подстановки на место A, E и остальных быстро демонстрирует, что все это значит; возьмем пример: A: «Все люди высокие», E: «Ни один человек не высок», I: «Некоторые люди высокие», O: «Некоторые люди не высоки».
Главным объектом изучения для Аристотеля и его логической традиции был силлогизм — форма рассуждения, в которой вывод выводится из двух посылок. В своей «Первой аналитике» Аристотель определял силлогистическое рассуждение как речь, в которой «при утверждении определенных положений из них с необходимостью вытекает нечто отличное от утвержденного в силу того, что это есть». Классическим примером является силлогизм: «Все люди смертны; Сократ — человек; следовательно, Сократ смертен». Это «категорический» силлогизм, и состоит он из двух посылок — большей посылки «Все люди смертны», меньшей посылки «Сократ — человек» — и вывода, который из них можно сделать: «Сократ смертен». Стоит заметить, что в этом силлогизме большая посылка является обобщением, тогда как меньшая посылка и вывод носят частный характер. Аристотелевская традиция классифицировала все формы силлогизма в соответствии с количеством (все, некоторые), качеством (утвердительное, отрицательное) и распределением терминов в посылках и выводе, разработав такие мнемоники, как «Barbara», «Celarent», «Darapti» и т. д., для 256 выявленных таким образом модусов: «Barbara» — это AAA (bArbArA), «Celarent» — это EAE (cElArEnt), «Darapti» — это AAI (dArAptI) и так далее. Из этих 256 форм правильными являются