«в математическом [числе] ни одна единица никак не отличается от другой» (20 – 23).
Это – одна группа чисел и одно философско-математическое учение.
Другая группа чисел отличается тем, что в ней
«одни счислимы, другие же нет» (23).
Наиболее простая форма этих чисел заключается в том, что мы имеем ряд чисел совершенно несчислимых между собою, в то время как внутри каждого из этих чисел отдельные единицы вполне счислимы. Здесь получается, что единицы, счислимые внутри определенной числовой структуры, не счислимы с единицами другой числовой структуры, как несчислимы и самые эти структуры (23 – 30).
Обычное математическое число, конечно, таким не может быть. В нем всегда и везде, при всяких возможных условиях, «один» да «один» дают «два», «два» да «один» дают «три», «три» да «один» дают «четыре», и т.д. и т.д. Тут голая монотонная последовательность, и нет никаких скачков из одной качественной сферы в другую (30 – 35).
Наконец, существует учение, которое утверждает, что существуют числа всех трех, упомянутых только что родов, т.е. числа в условиях чистой несчислимости, в условиях абсолютной и непрерывной счислимости, и в условиях прерывной счислимости (35 – 37).
– Эти три типа философско-математических учений совершенно ясны сами по себе и не требуют никакого специального комментария.
С философской точки зрения имеет значение еще и другое разделение теорий числа.
А именно, одни теории отделяют число от вещи, т.е. полагают его как совершенно самостоятельную природу, независимую от вещей.
Другие теории, не отделяя число от вещи, а, наоборот, внедряя его в вещи, полагают, что вещи собственно и есть не что иное, как числа. Эту теорию Аристотель резко отличает от своей теории, по которой числа тоже внедрены в вещи, но они не отождествляются с ними, а являются их абстракцией.
Наконец, есть теории, признающие, что одни числа отдельны и независимы от вещей, другие же внедрены в самые вещи (1080a 37 – 1080b 4).
Однако, эта вторая классификация имеет более общий характер, и Аристотель ее уже касался. Первая же классификация имеет более предметный характер, и Аристотель посвящает разбору установленных тут теорий свое дальнейшее изложение.
9. Счислимость и несчислимость.
На очереди критика абсолютной и относительной несчислимости. Ей Аристотель посвящает большой текст с XIII 7, 1081a 17 до конца этой главы XIII 7. Этому предшествует, однако, одно замечание о счислимых числах (1081a 5 – 17). Сводится оно к следующему.
Полная счислимость, т.е. полная взаимная однородность и качественное безразличие единиц, есть, очевидно, принадлежность чисто математического, или, точнее, арифметического числа. Аристотель доказывает, что такие арифметические числа ни в коем случае нельзя считать идеями; и идеи, если они существуют, не могут, по Аристотелю, сводиться на такие числа. Пусть мы имеем идею человека, т.е. пусть имеется «человек-в-себе». Она необходимо так или иначе качественна и неповторима. Какое же это число, и что тут собственно количественного? Допустим, что «человек-в-себе» есть «три». Но мы условились, что все числа чисто количественны и никакого качества в себе не содержат. Стало быть, «человек-в-себе» не может быть определен через «три»; таких «безразличных» троек – сколько угодно и «человека-в-себе» можно определять через какую угодно тройку, и никакого качественного и неповторимого определения все равно не получится (1081a 5 – 12).
Но если идеи не суть числа, то они вообще не существуют. Платоники учат, что числа получаются из объединения двух принципов, – Единого и Неопределенной Двоицы. Если так, то куда же деть идеи? Или из этих двух принципов действительно происходят идеи, – тогда эти идеи есть просто самые обыкновенные числа; или из них происходят числа, – тогда нет места ни для каких особенных идей (a 12 – 17).
Итак, абсолютно счислимые, взаимно-однородные и качественно-безразличные числа не могут считаться идеями, т.е. не могут быть идеальными; а так как из платонических принципов Единого и Двоицы выводятся, по их мнению, именно числа, то для идей вообще не остается никакого места.
– По поводу этой аргументации Аристотеля надо заметить, что последнее соображение может нами и не приниматься в расчет в данном контексте. Именно, из того, что, по учению платоников, числа происходят из Единого и Двоицы и что, по их же опять-таки учению, отсюда происходят и идеи, – вовсе ничего не следует относительно превосходства арифметического числа над идеями. Вероятно, платоники как-нибудь увязывали происхождение из названных принципов и числá и идеи; и не может быть, чтобы они сами не знали, что же именно отсюда происходит, числа или идеи. Если идея не число, то это еще ровно ничего не говорит о положительном содержании идеи; и тем более это ничего не говорит о том, что идей вообще нет. Тут у Аристотеля не ошибка в аргументации, а просто отсутствие аргументации, недостаточное ее развитие, так как заявление, что идеи
«нельзя поместить ни раньше чисел, ни позже» (1081a 16 – 17),
просто бездоказательно и неясно (неясно, напр., в каком смысле раньше или позже).
Что же касается первого соображения (1081a 5 – 12), то, судя безотносительно, с ним, конечно, можно вполне согласиться. Если существует только арифметическое число, то, разумеется, нет никакой нужды ни в каком «идеальном» числе, так как это было бы только заменой одного словесного обозначения другим.
Однако,
во-первых, платоники и не думали, что существует только арифметическое число, а,
во-вторых, утверждение это правильно лишь в силу своей тавтологичности: если есть только арифметическое число, то, значит, нет никакого не-арифметического числа.
Таким образом, этот отрывок 1081a 5 – 17 мог бы быть без ущерба выпущен из общей критики платонизма у Аристотеля.
10. Критика абсолютной несчислимости.
Далее мы находим, как сказано, ряд аргументов против несчислимых чисел. Эти дальнейшие тексты имеют часто весьма мудреное словесное выражение, так что перевод и анализ их является самой настоящей исследовательской работой, превосходящей трудности всякого самостоятельного научного построения. Все эти аргументы могут быть разделены, прежде всего, на две группы.
Одна имеет в виду такие несчислимые числа, которые несчислимы во всех отношениях, т.е. тут критикуется абсолютная несчислимость (1081a 17 – b 35).
Другая группа аргументов относится к числам, несчислимым между собою, но счислимым каждое внутри себя, т.е. тут критикуется прерывная счислимость, или относительная, прерывная несчислимость (1081b 35 – 1082b 37 и даже начало следующей главы – 8, 1083a 1 – 17).
Рассмотрим каждую группу в отдельности.
a)
Первая группа содержит три аргумента.
1) При абсолютной несчислимости