На самом деле, существует серьезная тенденция к этому с помощью длинных и сложных доказательств. Но понятие математической истины гораздо сложнее. Если вы точно не знаете, что такое числа, как вы можете быть уверены, истинно или ложно утверждение о них? Это не наука, где можно провести эксперимент в реальности. Математика имеет дело с абстракциями. Именно это делает её такой мощной.
Одно уравнение, например, x=yz, встречается в бесчисленных ситуациях. Следовательно, математические утверждения об этом уравнении применимы во всех этих ситуациях. Перефразируя Бертрана Рассела, можно сказать, что математики не знают, о чём говорят, и им всё равно. Это не ошибка, а особенность. Потому что математика не о чём-то одном, она применима ко всему.
Как сказал Пуанкаре: "Математика - это искусство давать одно и то же имя разным вещам". Числа - это абстракции, а не физические сущности. Большинство из них слишком велики, чтобы быть чем-то физическим. И всё же они существуют, каким-то образом, как абстракции. И они так полезны.
Попробуйте представить мир без чисел. Идея о том, что 10 яблок, или 10 овец, или 10 протонов, могут быть абстрагированы до числа 10, - это фантастика. Гёдель показал, что существуют разные версии математической реальности - разные математические вселенные. То, что мы считаем натуральными числами, тонко различается в разных вселенных. Он показал, что, что бы вы ни делали, вы никогда не сможете точно определить одну версию натуральных чисел, используя лишь конечное число аксиом. Всё сводится к тому, что никто не может точно определить, что означают 0, 1, 2,...
В этом суть работы Гёделя. Впрочем, в данном контексте само понятие истины и модели - это самое важное. В некотором смысле, если смотреть со стороны, в одной вселенной может быть больше натуральных чисел, чем в другой. Все эти вселенные удовлетворяют тем же аксиомам, которые вы указали в начале. Однако некоторые вещи работают в одной вселенной, а в другой - нет.
В этом и заключается истинное содержание работы Гёделя, и она относится к области логики, называемой теорией моделей. Математики могут создавать различные математические вселенные, называемые моделями, и перемещаться между ними. Особенно поразительной является идея вложения во вселенную. Внутри одной математической вселенной можно построить модель этой вселенной или даже других вселенных. Изнутри эта меньшая вселенная кажется идентичной нашей. Но снаружи мы можем видеть структуры и свойства, невидимые для её обитателей. И, конечно же, обитатели этой вселенной могут создавать ещё меньшие вселенные внутри своей.
Именно здесь математическая логика наделяет математиков, казалось бы, магической силой: способностью выйти за пределы математической вселенной и увидеть скрытую структуру, невидимую изнутри.
Так как же теоремы о полноте и неполноте могут быть верны? Ответ заключается в том, что они используют два разных понятия истины. Одно понятие - используемое в теореме о неполноте - истинно в конкретной математической вселенной. Я назову его "глупым" понятием истины. Другое понятие - используемое в теореме о полноте - истинно в каждой математической вселенной. Это "разумное" понятие. Причина, по которой первое понятие является "глупым", проста: Гёдель доказал, что невозможно точно определить, в какой именно математической вселенной вы находитесь. Если это невозможно, что может означать утверждение, что что-то истинно в этой вселенной, если это нельзя доказать?
Конечно, большинство математиков - очень практичные люди и не зацикливаются на мелочах, поэтому они не беспокоятся об этих деталях. Всё сводится к тому же: вы никогда не сможете по-настоящему узнать, что такое числа. Вы можете сформулировать аксиомы, описывающие поведение чисел, но этого никогда не будет достаточно, чтобы полностью их определить. Всегда будет существовать несколько вариантов чисел, удовлетворяющих этим аксиомам. К счастью, в большинстве случаев достаточно знать только то, как они себя ведут. И к тому же, в реальных ситуациях 1000 десятичных знаков более чем достаточно. В реальных ситуациях проблем нет.
На момент написания этого текста, насколько мне известно, возможно существование двух версий математики. В одной существует бесконечно много пар простых чисел вида (p, p+2). В другой существует наибольшая такая пара. Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает первую. Может оказаться, что эта гипотеза неразрешима: её нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью наших аксиом. Если это произойдёт, Гёдель даст нам свободу выбора, в какой математической вселенной мы хотим жить - в той, где она верна, или в той, где она ложна.
Мы можем добавить аксиому, чтобы достичь любого из этих результатов. Гёдель не показал, что в математике есть что-то неправильное. Он показал, что ни один конечный набор аксиом не может охватить все арифметические истины (нелепая версия), потому что существует множество арифметик, в зависимости от того, какая математическая вселенная рассматривается.
Теоремы Гёделя применимы к формальным системам. Они не применимы к физическому миру (каким бы он ни был), и они не показывают, что люди могут постичь истины, недоступные машинам. Они не допускают никаких метафизических выводов вне математической логики.
ZFC - математическая теория всего.
Множество - это математическая абстракция: совокупность вещей. Всё в математике может быть выражено с помощью множеств и логики. Математика в этом отношении похожа на физику. Так же, как все физические объекты состоят из атомов, все математические объекты построены из множеств. А множества содержат только другие множества. Самое известное множество - это пустое множество - множество, не содержащее ничего.
Всё в математике можно построить из множеств, содержащих множества, содержащих ещё больше множеств, в конечном итоге основанных на пустом множестве. В буквальном смысле вся математика построена из ничего. Например, 0 можно определить как пустое множество {}. Число 1 - это множество {0} = { {} }, содержащее 0. Число 2 - это множество {0,1} = { {} , {{}} }, содержащее 0 и 1, и так далее.
Математики обычно не работают на этом уровне, так же как программисты обычно не пишут машинный код. ZFC - это небольшой набор аксиом - достаточно короткий, чтобы поместиться на футболке, - которые точно описывают поведение множеств. Они достаточны практически для всей математики, а следовательно, и для всей физики. Вот почему ZFC иногда называют математической теорией всего. Гёдель показал, что аксиомы ZFC не описывают