Например, понятие бесконечно малых величин, которое вызывало столько беспокойства у изобретателей дифференциального и интегрального исчисления, теперь имеет прочную основу именно благодаря этому. Можно наблюдать извне, в подходящей модели вселенной, положительные числа, меньшие 1, делённого на любое внешнее натуральное число. В этой вселенной существуют натуральные числа, большие всех внешних (то есть, числа, которые внешний наблюдатель распознаёт как конечные). Это бесконечно малые величины, скрытые от глаз математиков внутри этой вселенной, потому что у них нет языка, чтобы замечать внешние числа. Им не хватает математических технологий, чтобы видеть то, что находится у них под носом.
Но они (мы) тоже можем строить модели, в которых они их видят. Наши интуитивные представления о числах допускают более чем одну реализацию. В математике действительно существует больше вещей, чем может себе представить чья-либо философия - и это тоже теорема.
Теоремы Гёделя не подрывают математику. Они открывают новые горизонты. Они объясняют, что если из данного конечного набора аксиом что-либо нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то существуют вселенные, где это истинно, и другие, где это ложно. Это верно, в частности, для знаменитого утверждения Гёделя, которое интерпретируется как "доказательства этого утверждения нет". Но это эссе (на полях) и так слишком длинное, чтобы это объяснять. Теория моделей порождает магию ZFC и утверждает, что существуют вещи, называемые множествами, и существует отношение ∈, называемое "является элементом", которое указывает, является ли одно заданное множество элементом другого заданного множества. Мы пишем X ∈ Y, чтобы обозначить, что X является элементом Y. Аксиомы включают только отношение ∈. Каждая аксиома гарантирует существование определенного множества. Например, аксиома пустого множества гласит, что существует множество X такое, что множество Y никогда не является элементом X. Мы называем X пустым множеством.
Аксиома парного множества гласит, что если X и Y - множества, то существует множество Z такое, что X и Y являются единственными элементами Z. Аксиома бесконечности гласит, что существует множество, содержащее Пустое множество, и всякий раз, когда оно содержит множество X, оно также содержит множество Y, состоящее только из множества X и множества, единственным элементом которого является X, в обозначении Y={X,{X}}.
Аксиома основания подразумевает, что любая последовательность множеств, каждое из которых является элементом предыдущего, заканчивается после конечного числа шагов. Это тонко, потому что это должно быть сказано без слова "конечный", которое, как мы уже говорили, невозможно точно определить в нужном нам смысле.
Аксиома множества степеней гласит, что если X - множество, то существует множество, элементами которого являются все подмножества X. Это тонко, потому что возникают парадоксы, если вы придерживаетесь наивной точки зрения, полагая, что знаете, что это значит.
Некоторые вещи, которые, как вы думаете, должны быть множествами, таковыми не являются, это привело бы к противоречиям. Аксиомы ZFC описывают, какие множества существуют, и если вы придумаете что-то, что нельзя вывести из аксиом, то это не множество.
Например, совокупность всех множеств не является множеством. Это называется собственным классом. Грубо говоря, всё, что вы можете придумать, означает всё, что вы можете определить. Только некоторые из этих вещей обладают свойствами, присущими множествам. Остальные - собственные классы.
Аксиомы теории множеств нельзя применять к собственным классам. Например, нельзя взять множество всех подклассов собственного класса. Иногда это привело бы к противоречию, которое опровергает всё. Аксиомы ZFC были тщательно подобраны для создания всех необходимых нам множеств и избегания парадоксов, возникающих из наивной теории множеств. Удивительно, что вся математика может быть построена из собственного класса всех множеств и отношения ∈, и тем более, что все множества строятся из множеств, содержащих пустое множество. Это немного похоже на то, что машина Тьюринга, которая, кажется, может делать так мало, может делать столько же, сколько любой мыслимый компьютер.
Предположение, что аксиомы ZFC не приводят к противоречию
Это предположение нельзя доказать в ZFC. Но как только вы поймете, насколько они в конечном итоге просты, это покажется несомненным. Единственные возможные придирки, о которых я знаю, касаются предположения о существовании бесконечных множеств (какая бы бедная жизнь у нас была без этого), а также есть несколько человек, которые пытаются жить, используя ZF вместо ZFC: C - это аксиома выбора. Эта аксиома просто гласит, что если у вас есть множество, каждый элемент которого является непустым множеством, то можно выбрать элемент из каждого из этих множеств.
Все математики, которых я знаю, в этом смысле выступают за выбор. Предполагая аксиомы ZFC (или, если хотите, можно сказать, что множества существуют в другой области, и что они являются моделью аксиом), тогда можно определить множество W множеств в этой модели, которое намного меньше собственного класса всех множеств, и найти отношение ∈" на W, которое удовлетворяет аксиомам ZFC.
Отношение ∈", примененное к W, не говорит буквально, является ли одно множество в W элементом другого множества. Но она ведёт себя точно так же, как если бы это было так. Тогда W и ∈" - это другая модель ZFC, а следовательно, и всей математики. Возможно создать модели ZFC, удовлетворяющие всем обычным правилам плюс некоторым дополнительным, при условии, что они не приводят к противоречиям (при условии, что ZFC свободна от противоречий). Один из методов - использование ультрафильтров или добавление схемы аксиом, утверждающей существование бесконечно малых величин.
Существует также модель, где W - это множество, имеющее только счётное бесконечное число элементов. Это кажется парадоксом, потому что в ZFC есть множества большего размера: несчётно бесконечные. Суть в том, что счётная бесконечность относится к вселенной, в которой вы работаете. Математики в созданной вами модели не знают о добавленных вами дополнительных аксиомах. Они не могут видеть биекцию, которую вы используете, чтобы показать, что совокупность их множества (ваше W) находится в однозначном соответствии с натуральными числами. Они могут видеть только то, что позволяет им создать ZFC. Они видят W и ∈" и думают, что это всё.
Но мы, сторонние наблюдатели, видим больше, чем они. Существуют модели, в которых внешний наблюдатель видит бесчисленное множество натуральных чисел. Всё сводится к тому, что мы не можем определить, где заканчивается конечное число и начинается бесконечность, если у нас ещё нет модели. Но определить эту модель невозможно. Всё относительно. Кстати, вся эта аксиоматика основана на конечном числе аксиом (схем). Слово "конечный" здесь - вот