Зенон сформулировал около сорока парадоксов, из которых нам известно десять. Главным источником сведений об аргументах Зенона против движения является «Физика» Аристотеля. Их можно описать следующим образом. Представьте, что вы идете от одного конца стадиона к другому. Чтобы сделать это, вы должны сначала дойти до середины пути. Но чтобы добраться туда, вам нужно сначала достичь точки, находящейся на половине пути к этой середине. И действительно, чтобы достичь любой точки, вам сначала нужно преодолеть половину пути до нее, а перед этим — половину этой половины, а перед той половиной — и так далее до бесконечности. Но невозможно пройти бесконечное число точек за конечное время; следовательно, движение — это иллюзия.
Или рассмотрим Ахиллеса, бегущего наперегонки с черепахой. Если черепаха получит хотя бы минимальную фору, Ахилл никогда не сможет ее догнать. Ибо для этого ему сначала нужно добежать до места, откуда стартовала черепаха; но к тому моменту, когда он туда доберется, черепаха уже продвинется немного вперед, и Ахиллу придется бежать до этой новой точки. Но когда он достигнет и ее... и так далее.
Третий аргумент таков. Представим стрелу, выпущенную по мишени. В любой точке своего полета стрела занимает ровно то пространство, которое соответствует ее длине. Следовательно, в этом пространстве она неподвижна, ибо (как утверждает Зенон) всякая вещь находится в покое, когда занимает пространство, равное ее собственным размерам. Но поскольку стрела в каждой точке своего полета занимает в точности свое собственное пространство, она неподвижна в каждой точке своего полета.
Кое-какие ответы предлагает сам Аристотель. Аргумент Зенона исходит из предпосылки, что невозможно пройти бесконечное число точек за конечное время. Однако здесь не проводится различие между бесконечной делимостью и бесконечной протяженностью. Нельзя преодолеть бесконечную протяженность за конечное время, но можно преодолеть бесконечно делимое пространство, поскольку само время бесконечно делимо; таким образом, бесконечно делимое пространство преодолевается за бесконечно делимое время.
Что касается аргумента со стрелой, то, по словам Аристотеля, он опирается на допущение, «что время слагается из отдельных “теперь” [то есть дискретных интервалов]. Если этого не признавать, то вывод не получится».
Аргументы Зенона сформулированы таким образом, что заставляют предположить, будто он имел в виду главным образом пифагорейцев. Утверждая, что в основе реальности лежит число, они сопутствующим образом полагали, что вещи представляют собой суммы единиц. Сообщается, что Зенон сказал: «Если бы кто-нибудь смог объяснить мне, что такое единица, я смог бы сказать, что такое вещи». Здесь он предлагает классический пример выведения противоречия из посылки «о существовании многого», рассуждая следующим образом: «Если вещей много [существует множественность], их должно быть ровно столько, сколько есть, ни больше ни меньше. А если их ровно столько, сколько есть, то число их конечно. Но если вещей много, то число их бесконечно, ибо между ними всегда найдутся другие вещи, а между теми — третьи. А значит, число вещей бесконечно».
Другой аргумент против множественности основывается на предположении, что вещи можно делить на части. Приходится допустить, что сами эти части должны представлять собой нечто, ведь если деление вещей в конечном счете приводит к ничто, то как нечто может состоять из ничего? Допустим, вы утверждаете, что части — это не ничто, но они не имеют размера; как же тогда вещь, которую они составляют, может иметь размер, если никакое количество безразмерных сущностей не способно составить протяженную вещь? Таким образом, вам остается лишь допустить, что элементы вещей должны быть чем-то реальным и обладать размером. Но в таком случае они не являются первоэлементами вещей, поскольку их можно делить дальше, а если их части, в свою очередь, обладают размером, они, следовательно, тоже делимы, как и их собственные части — и так далее; а значит, процесс деления никогда не прекратится.
Похоже, пифагорейцы были мишенью и в аргументе Зенона против пространства, учитывая их учение о воздухе, проникающем в космос из-за его пределов. «Если существует пространство, то оно должно в чем-то находиться, ибо все сущее в чем-то находится, а то, что в чем-то находится, находится в пространстве. Значит, пространство будет находиться в пространстве, и так далее до бесконечности; следовательно, пространства не существует». Если оставить в стороне предположение, что пространство здесь рассматривается как вместилище (в духе ньютоновского абсолютного пространства), а не, скажем, как совокупность отношений между объектами, а также вопрос о том, нет ли логической ошибки эквивокации (то есть смешения разных значений одного слова) в употреблении слов «нечто» и «в», остается вопрос: почему само понятие бесконечного пространства должно быть внутренне противоречивым, как полагает Зенон?
Это ставит вопрос о том, как именно Зенон использовал понятие бесконечности. То, что сегодня называют «стандартным решением» парадоксов движения Зенона, опирается на математический анализ, независимо разработанный Ньютоном и Лейбницем в XVII веке, а зеноновские рассуждения о бесконечности стимулируют дискуссии об актуальной и потенциальной бесконечности (причем концепция первой получила полноценное формальное обоснование лишь на рубеже XX века в работах математиков Рихарда Дедекинда и Георга Кантора). Разнообразные идеи — о том, что элементы физической реальности не могут быть бесконечно делимыми, что понятие пространства или воспринимаемой реальности в целом противоречиво, или что существует необходимость в создании паранепротиворечивых логик, где оба члена противоречия признаются истинными, — представляют собой лишь некоторые из следствий, к которым подтолкнуло осмысление парадоксов Зенона.
Важным соображением касательно таких парадоксов, как «Стадион» и «Ахиллес», является то, что если сложить 1/2 + 1/4 + 1/8... то в сумме получится 1 — как для пространственных, так и для временных интервалов. Таким образом, если сложить расстояния, которые необходимо преодолеть, чтобы достичь каждой промежуточной точки (половины пути через стадион, половины этой половины и так далее), получится конечное расстояние между противоположными концами стадиона. То же самое относится и ко времени, которое затрачивается на каждый последующий шаг по достижению очередной точки, затем следующей за ней и так далее. И вновь мы приходим к выводу, что бесконечно делимое пространство можно преодолеть за конечное время.
Наводящий на размышления вывод из анализа этих парадоксов заключается в том, что они возникают из-за конфликта между концептуальными инструментами, которые мы используем для удобства упорядочивания нашего